Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042037

Найдём сначала, с какой скоростью поехала бы платформа, если прыгнуть строго вдоль рельсов. Тогда $\alpha=0^\circ$ и $\cos\alpha=1$:

$$\dfrac{m}{m+M}v=\dfrac{75}{75+225}\cdot3{,}2=\dfrac{75}{300}\cdot3{,}2=\dfrac14\cdot3{,}2=0{,}8\ \text{м/с}.$$

При угле $\alpha$ эта скорость умножается на $\cos\alpha$: $u=0{,}8\cos\alpha$. Нужно, чтобы

$$0{,}8\cos\alpha\ge0{,}4.$$

Делим на положительное число $0{,}8$:

$$\cos\alpha\ge\dfrac{0{,}4}{0{,}8}=\dfrac12.$$

Построим мысленно график $y=\cos\alpha$ на промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$: он идёт вниз от $1$ до $0$ и пересекает уровень $\dfrac12$ в точке $\alpha=60^\circ$. Не ниже этого уровня график лежит при $0^\circ\lt\alpha\le60^\circ$.

Наибольший подходящий угол — $60^\circ$.

Проверка подстановкой: $u=0{,}8\cdot\cos60^\circ=0{,}8\cdot0{,}5=0{,}4$ м/с — ровно нужная скорость. При $65^\circ$: $\cos65^\circ\approx0{,}42$, $u\approx0{,}34$ м/с — меньше нужной.