Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043521

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Тригонометрические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043521

Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ меняется по закону $v=v_0\sin\frac{2\pi t}{T}$ , где $$t$$ — время с момента начала колебаний, $$T=6$$ с — период колебаний, $v_0=0{,}8$ м/с. Кинетическая энергия $$E$$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\frac{mv^2}{2}$ , где $$m$$ — масса груза в килограммах, $$v$$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Груз качается на пружине, его скорость меняется по синусу. Сначала найдём скорость в момент $$t=5$$ с, а потом подставим её в формулу энергии.

Аргумент синуса: $\dfrac{2\pi t}{T}=\dfrac{2\pi\cdot 5}{6}=\dfrac{5\pi}{3}$ .

Угол $\dfrac{5\pi}{3}$ — это $300^{\circ}$ , он лежит в четвёртой четверти, где синус отрицателен. До полного круга ему не хватает $60^{\circ}$ , поэтому $\sin\dfrac{5\pi}{3}=-\sin 60^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Скорость: $v=0{,}8\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-0{,}4\sqrt3$ м/с. Минус означает лишь направление движения.

В энергию скорость входит в квадрате, так что минус исчезает:

$v^{2}=0{,}16\cdot 3=0{,}48.$

Кинетическая энергия:

$E=\dfrac{mv^{2}}{2}=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}48}{2}=\dfrac{0{,}12}{2}=0{,}06\ \text{Дж}.$

Проверим себя: можно сразу взять $\sin^{2}\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac34$ . Тогда $v^{2}=0{,}64\cdot\dfrac34=0{,}48$ — то же самое.

Ответ

0,06

Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» (8)