Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043543

Лампочка горит, пока напряжение не меньше $1$ В. Нужно понять, какую долю первой секунды это условие выполняется.

Запишем условие: $2\cos(120t-45)^{\circ}\geqslant 1$, то есть

$$\cos(120t-45)^{\circ}\geqslant\dfrac12.$$

Посмотрим, как меняется угол за первую секунду. При $t=0$ он равен $-45^{\circ}$, при $t=1$ — $120-45=75^{\circ}$. Значит, угол пробегает отрезок от $-45^{\circ}$ до $75^{\circ}$.

На этом отрезке косинус не меньше $\dfrac12$, пока угол не больше $60^{\circ}$: ведь $\cos 60^{\circ}=\dfrac12$, а от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ косинус убывает. Отрицательные углы до $-45^{\circ}$ тоже подходят: $\cos(-45^{\circ})=\dfrac{\sqrt2}{2}\gt\dfrac12$.

Итак, лампочка горит, пока $120t-45\leqslant 60$, то есть $120t\leqslant 105$ и $t\leqslant\dfrac{105}{120}=0{,}875$ с.

Из всей секунды лампочка горит $0{,}875$ с, а это $0{,}875\cdot 100\%=87{,}5\%$.

Проверим себя: в момент $t=0{,}875$ угол $120\cdot 0{,}875-45=105-45=60^{\circ}$, напряжение $2\cdot\dfrac12=1$ В — ровно порог. А в конце секунды угол $75^{\circ}$, $\cos 75^{\circ}\approx 0{,}26$, напряжение около $0{,}5$ В — лампочка уже погасла.