Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043522

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Тригонометрические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043522

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ меняется по закону $v = v_0 \sin\frac{2\pi t}{T}$ , где $$t$$ — время с момента начала колебаний, $$T = 6$$ с — период колебаний, $$v_0 = 2$$ м/с. Кинетическая энергия $$E$$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2}$ , где $$m$$ — масса груза в килограммах, $$v$$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Скорость груза меняется по закону синуса, а энергия зависит от квадрата скорости. План: найти скорость при $$t=4$$ с, возвести в квадрат и подставить в формулу энергии.

Аргумент синуса: $\dfrac{2\pi\cdot 4}{6}=\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}$ , то есть $240^{\circ}$ .

Угол $240^{\circ}$ лежит в третьей четверти, синус там отрицателен. Он больше $180^{\circ}$ на $60^{\circ}$ , поэтому $\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\sin 60^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Скорость: $v=2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\sqrt3$ м/с.

Её квадрат: $v^{2}=\left(-\sqrt3\right)^{2}=3$ .

Энергия:

$E=\dfrac{0{,}58\cdot 3}{2}=\dfrac{1{,}74}{2}=0{,}87\ \text{Дж}.$

Проверим себя на смысл: наибольшая энергия груза была бы при $$v=2$$ : $\dfrac{0{,}58\cdot 4}{2}=1{,}16$ Дж. Наш ответ меньше максимума, но не нулевой — так и должно быть в момент, когда груз не в крайней точке и не в середине.

Ответ

0,87

Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» (8)