Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043531

Скейтбордист толкает платформу. Чем ближе направление прыжка к направлению рельсов (чем меньше угол $\alpha$), тем сильнее толчок. Нужно найти самый большой угол, при котором платформа всё ещё разгонится хотя бы до $0{,}3$ м/с.

Посчитаем множитель $\dfrac{m}{m+M}v$. Сумма масс $75+375=450$, доля $\dfrac{75}{450}=\dfrac16$, и $\dfrac16\cdot 3{,}6=0{,}6$. Значит, $u=0{,}6\cos\alpha$.

Условие «не менее $0{,}3$»:

$$0{,}6\cos\alpha\geqslant 0{,}3,\qquad \cos\alpha\geqslant 0{,}5.$$

Вспомним: $\cos 60^{\circ}=0{,}5$. Для острых углов косинус убывает: чем больше угол, тем меньше косинус. Поэтому $\cos\alpha\geqslant 0{,}5$ означает $\alpha\leqslant 60^{\circ}$.

Наибольший подходящий угол — $60^{\circ}$.

Проверим себя: $u=0{,}6\cdot\cos 60^{\circ}=0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}3$ м/с — ровно нужная скорость. При угле побольше, например $70^{\circ}$, косинус меньше $0{,}5$, и платформа поедет медленнее.