Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043530

Два тела летят навстречу под углом и слипаются. Чем больше угол между их скоростями, тем больше энергии выделяется. Нужно найти наименьший угол $2\alpha$, при котором выделится не меньше $480$ Дж.

Посчитаем $mv^{2}$: $10\cdot 8^{2}=10\cdot 64=640$. Условие «не менее $480$»:

$$640\sin^{2}\alpha\geqslant 480.$$

Делим на $640$: $\sin^{2}\alpha\geqslant\dfrac{480}{640}=\dfrac34$.

Угол $2\alpha$ между направлениями движения меньше $180^{\circ}$, поэтому $\alpha$ — острый угол, и $\sin\alpha\gt 0$. Извлекаем корень:

$$\sin\alpha\geqslant\dfrac{\sqrt3}{2}.$$

Вспомним: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, а на промежутке от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ синус растёт. Значит, $\alpha\geqslant 60^{\circ}$, и наименьшее $\alpha=60^{\circ}$.

Но спрашивают угол $2\alpha$: $2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}$.

Проверим себя: при $2\alpha=120^{\circ}$ имеем $\alpha=60^{\circ}$, $\sin^{2}60^{\circ}=\dfrac34$, $Q=640\cdot\dfrac34=480$ Дж — ровно граница.