Global EE

Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043540

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Квадратные и степенные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043540

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = at^2 + bt + H_0$, где $H_0 = 6{,}25$ м — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{49}$ м/мин$^2$ и $b = -\frac{5}{7}$ м/мин — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Вода вытекает из бака, пока её уровень не станет нулевым. Значит, нужно найти момент, когда $H(t)=0$.

Подставим коэффициенты:

$$\dfrac{t^{2}}{49}-\dfrac{5t}{7}+6{,}25=0.$$

Умножим на $49$, чтобы убрать дроби: $t^{2}-35t+306{,}25=0$.

Дискриминант: $35^{2}-4\cdot 306{,}25=1225-1225=0$. Корень один:

$$t=\dfrac{35}{2}=17{,}5.$$

Почему корень один, видно и иначе: левая часть — полный квадрат разности, $\left(\dfrac{t}{7}-2{,}5\right)^{2}=\dfrac{t^{2}}{49}-\dfrac{5t}{7}+6{,}25$. Он равен нулю, только когда $\dfrac{t}{7}=2{,}5$, то есть $t=17{,}5$ минуты.

Проверим себя: $\dfrac{17{,}5^{2}}{49}=\dfrac{306{,}25}{49}=6{,}25$, а $\dfrac57\cdot 17{,}5=12{,}5$. Итого $6{,}25-12{,}5+6{,}25=0$ — уровень нулевой.

Ответ

17,5
Другие задания по теме «Квадратные и степенные уравнения и неравенства» (8)