Global EE

Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043537

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Квадратные и степенные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043537

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}\,kt + \frac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 20$ м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{200}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с$^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Бак цилиндрический: высота столба и объём воды меняются в одной пропорции. Четверть объёма — это четверть высоты: $H=\dfrac{20}{4}=5$ м.

Подставим числа: $\sqrt{2gH_0}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}=\sqrt{400}=20$, и $20\cdot\dfrac{t}{200}=\dfrac{t}{10}$. Далее $\dfrac{g}{2}k^{2}=5\cdot\dfrac{1}{40\,000}=\dfrac{1}{8000}$.

Уравнение:

$$20-\dfrac{t}{10}+\dfrac{t^{2}}{8000}=5.$$

Умножим обе части на $8000$, чтобы убрать дроби: $160\,000-800t+t^{2}=40\,000$, то есть

$$t^{2}-800t+120\,000=0.$$

Дискриминант: $800^{2}-4\cdot 120\,000=640\,000-480\,000=160\,000=400^{2}$.

$$t_1=\dfrac{800-400}{2}=200,\qquad t_2=\dfrac{800+400}{2}=600.$$

Какой корень подходит? Формула описывает вытекание, пока вода есть. Высота становится нулевой, когда $t^{2}-800t+160\,000=0$, то есть $(t-400)^{2}=0$, $t=400$ с. Значит, $600$ с — уже после опустения бака, это лишний корень.

Значит, по смыслу подходит только $t=200$ с.

Проверим себя: $20-\dfrac{200}{10}+\dfrac{40\,000}{8000}=20-20+5=5$ м — ровно четверть от $20$ м.

Ответ

200
Другие задания по теме «Квадратные и степенные уравнения и неравенства» (8)