Global EE

Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043539

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Квадратные и степенные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043539

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $a = -25$ К/мин$^2$, $b = 300$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1900 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Температура элемента меняется по квадратичному закону: сначала растёт, потом падает. Прибор надо выключить, как только температура дойдёт до $1900$ К — дальше она станет опасной. Найдём этот момент.

Подставим числа: $T(t)=1400+300t-25t^{2}$. Приравняем к $1900$:

$$1400+300t-25t^{2}=1900.$$

Перенесём всё вправо: $25t^{2}-300t+500=0$. Разделим на $25$:

$$t^{2}-12t+20=0.$$

Дискриминант: $12^{2}-4\cdot 20=144-80=64$, корень из него $8$.

$$t_1=\dfrac{12-8}{2}=2,\qquad t_2=\dfrac{12+8}{2}=10.$$

Парабола $T(t)$ направлена ветвями вниз, поэтому между $2$ и $10$ минутами температура выше $1900$ К. Значит, прибор испортится уже после второй минуты, и выключить его нужно не позже чем через $2$ минуты. Момент $10$ минут не годится: к нему прибор уже был бы перегрет.

Проверим себя: $T(2)=1400+600-100=1900$ К — ровно граница.

Ответ

2
Другие задания по теме «Квадратные и степенные уравнения и неравенства» (8)