Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043536

Бак цилиндрический, поэтому объём воды пропорционален высоте столба. «Осталась четверть объёма» значит «высота стала четвертью начальной»: $H=\dfrac{H_0}{4}=\dfrac54=1{,}25$ м.

Посчитаем коэффициенты при $g=10$, $H_0=5$, $k=\dfrac1{700}$. Второе слагаемое: $\sqrt{2gH_0}=\sqrt{100}=10$, так что $10\cdot\dfrac{t}{700}=\dfrac{t}{70}$. Третье: $\dfrac{g}{2}k^{2}=\dfrac{5}{490\,000}=\dfrac{1}{98\,000}$.

Получаем уравнение:

$$5-\dfrac{t}{70}+\dfrac{t^{2}}{98\,000}=1{,}25.$$

Хитрость: правая часть формулы — это полный квадрат разности. Действительно, $\left(\sqrt5-\dfrac{\sqrt5\,t}{700}\right)^{2}=5-2\cdot\dfrac{5t}{700}+\dfrac{5t^{2}}{490\,000}=5-\dfrac{t}{70}+\dfrac{t^{2}}{98\,000}$.

Значит, $\sqrt5\left(1-\dfrac{t}{700}\right)$ в квадрате равно $1{,}25$. Пока вода вытекает, выражение в скобках положительно, поэтому извлекаем корень: $\sqrt5\left(1-\dfrac{t}{700}\right)=\sqrt{1{,}25}=\dfrac{\sqrt5}{2}$.

Сокращаем на $\sqrt5$: $1-\dfrac{t}{700}=\dfrac12$, откуда $\dfrac{t}{700}=\dfrac12$ и $t=350$ с.

Проверим себя подстановкой: $5-\dfrac{350}{70}+\dfrac{350^{2}}{98\,000}=5-5+\dfrac{122\,500}{98\,000}=1{,}25$ м. Верно.

Почему не второй корень квадратного уравнения: он равен $t=1050$ с, но к этому моменту бак уже опустел бы (при $t=700$ высота становится нулём), так что формула там смысла не имеет.