Global EE

Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043535

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Квадратные и степенные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043535

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \alpha\rho g r^3$, где $\alpha = 4{,}2$ — постоянная, $\rho = 1000$ кг/м$^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ Н/кг), а $r$ — радиус аппарата в метрах. Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем 447 216 Н? Ответ дайте в метрах.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Чем больше радиус сферического аппарата, тем больше выталкивающая сила — она пропорциональна кубу радиуса. Ищем наибольший радиус, при котором сила не больше $447\,216$ Н.

Постоянная часть формулы: $\alpha\rho g=4{,}2\cdot 1000\cdot 10=42\,000$. Условие:

$$42\,000\,r^{3}\leqslant 447\,216.$$

Делим: $r^{3}\leqslant\dfrac{447\,216}{42\,000}=10{,}648$.

Подберём радиус. $2^{3}=8$ — мало, $3^{3}=27$ — много, значит, радиус между $2$ и $3$, и куб у него чуть больше $8$. Пробуем $2{,}2$: $2{,}2^{2}=4{,}84$, $4{,}84\cdot 2{,}2=10{,}648$. Совпало.

Куб растёт вместе с радиусом, поэтому $r\leqslant 2{,}2$. Наибольший радиус — $2{,}2$ м.

Проверим себя: $42\,000\cdot 10{,}648=447\,216$ Н — точно предельная сила.

Ответ

2,2
Другие задания по теме «Квадратные и степенные уравнения и неравенства» (8)