Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043529

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043529

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 13$ молей воздуха при давлении $p_1 = 1{,}2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha = 15 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117 000 Дж.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Колокол опускают вглубь, давление воздуха в нём растёт, а вода совершает работу. Работа зависит от того, во сколько раз выросло давление. Найдём конечное давление $p_2$.

Множитель перед логарифмом: $\alpha\nu T=15\cdot 13\cdot 300$. Считаем по шагам: $15\cdot 13=195$, $195\cdot 300=58\,500$.

Подставим работу:

$$117\,000=58\,500\cdot\log_2\dfrac{p_2}{1{,}2}.$$

Делим на $58\,500$: $117\,000:58\,500=2$, значит, $\log_2\dfrac{p_2}{1{,}2}=2$.

По определению логарифма $\dfrac{p_2}{1{,}2}=2^{2}=4$ — давление выросло в $4$ раза:

$$p_2=1{,}2\cdot 4=4{,}8\ \text{атм}.$$

Проверим себя: $\dfrac{4{,}8}{1{,}2}=4$, $\log_2 4=2$, $58\,500\cdot 2=117\,000$ Дж. И по смыслу при погружении давление стало больше начального.

Ответ

4,8
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)