Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042029

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00042029

Водолазный колокол, содержащий $\nu=3$ моля воздуха при давлении $p_1=1{,}6$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha=11{,}8\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $31\,860$ Дж.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Работа при сжатии: $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$. Подставим известные величины:

$$11{,}8\cdot3\cdot300\cdot\log_2\dfrac{p_2}{1{,}6}=31\,860.$$

Множитель перед логарифмом: $11{,}8\cdot3=35{,}4$, и $35{,}4\cdot300=10\,620$. Выделим логарифм, разделив работу на этот множитель:

$$\log_2\dfrac{p_2}{1{,}6}=\dfrac{31\,860}{10\,620}=3.$$

Логарифм по основанию $2$ равен $3$, значит, число под логарифмом равно $2^3=8$:

$$\dfrac{p_2}{1{,}6}=8\ \Rightarrow\ p_2=8\cdot1{,}6=12{,}8\ \text{атм}.$$

Проверим другим способом — через свойство логарифма частного: $\log_2\dfrac{p_2}{p_1}=\log_2p_2-\log_2p_1$. Тогда $\log_2p_2=3+\log_2 1{,}6=\log_2 8+\log_2 1{,}6=\log_2(8\cdot1{,}6)=\log_2 12{,}8$, то есть $p_2=12{,}8$ атм.

Подстановка: $\dfrac{12{,}8}{1{,}6}=8$, $\log_2 8=3$, $10\,620\cdot3=31\,860$ Дж. Верно.

Ответ

12,8
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)