Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043525

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043525

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_\text{п} = 15\,^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 1{,}4$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_\text{в} = 75\,^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x = \alpha\frac{cm}{\gamma}\log_2\frac{T_\text{в} - T_\text{п}}{T - T_\text{п}}$, где $c = 4200\,\frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot {}^\circ\text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma = 63\,\frac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot {}^\circ\text{C}}$ — коэффициент теплообмена, а $\alpha = 1{,}8$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 168 м.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Горячая вода, проходя по трубе, отдаёт тепло комнате и остывает. Формула связывает длину трубы $x$ с тем, насколько вода остыла. Подставим все числа и найдём конечную температуру $T$.

Сначала посчитаем множитель перед логарифмом:

$$\alpha\dfrac{cm}{\gamma}=1{,}8\cdot\dfrac{4200\cdot 1{,}4}{63}.$$

$4200\cdot 1{,}4=5880$, $5880:63=93\tfrac13$. Удобнее так: $4200:63=\dfrac{200}{3}$, тогда $1{,}8\cdot\dfrac{200}{3}\cdot 1{,}4=0{,}6\cdot 200\cdot 1{,}4=120\cdot 1{,}4=168$.

Под логарифмом — отношение разностей «вода минус комната»: на входе $75-15=60$, на выходе $T-15$. Длина трубы $168$ м:

$$168=168\cdot\log_2\dfrac{60}{T-15}.$$

Делим на $168$: $\log_2\dfrac{60}{T-15}=1$. Логарифм по основанию $2$ равен $1$, когда число под ним равно $2$:

$$\dfrac{60}{T-15}=2,\qquad T-15=30,\qquad T=45.$$

Проверим себя: $\dfrac{75-15}{45-15}=\dfrac{60}{30}=2$, $\log_2 2=1$, $x=168\cdot 1=168$ м. И по смыслу вода остыла, но осталась теплее комнаты: $15\lt 45\lt 75$.

Ответ

45
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)