Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042041

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00042041

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{\text{П}}=25\ ^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m=0{,}3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_{\text{В}}=57\ ^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x=\alpha\dfrac{cm}{\gamma}\log_2\dfrac{T_{\text{В}}-T_{\text{П}}}{T-T_{\text{П}}}$, где $c=4200\ \dfrac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma=63\ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — коэффициент теплообмена, а $\alpha=1{,}4$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $56$ м.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Посчитаем множитель перед логарифмом — сколько метров трубы приходится на единицу логарифма:

$$\alpha\dfrac{cm}{\gamma}=1{,}4\cdot\dfrac{4200\cdot0{,}3}{63}=1{,}4\cdot\dfrac{1260}{63}=1{,}4\cdot20=28.$$

Длина трубы $56$ м, а начальная разность температур $T_{\text{В}}-T_{\text{П}}=57-25=32$:

$$56=28\log_2\dfrac{32}{T-25}.$$

Разделим обе части на $28$:

$$\log_2\dfrac{32}{T-25}=2.$$

По определению логарифма число под ним равно $2^2=4$:

$$\dfrac{32}{T-25}=4.$$

Знаменатель равен числителю, делённому на значение дроби: $T-25=\dfrac{32}{4}=8$, откуда $T=25+8=33$.

Проверим другим способом — через свойство логарифма частного: $\log_2\dfrac{32}{T-25}=\log_2 32-\log_2(T-25)=5-\log_2(T-25)=2$, значит, $\log_2(T-25)=3$ и $T-25=8$, $T=33$. Совпало.

Подстановка: $\dfrac{57-25}{33-25}=\dfrac{32}{8}=4$, $\log_2 4=2$, $x=28\cdot2=56$ м. Верно.

Ответ

33
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)