Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043526

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043526

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_\text{п} = 25\,^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_\text{в} = 81\,^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x = \alpha\frac{cm}{\gamma}\log_2\frac{T_\text{в} - T_\text{п}}{T - T_\text{п}}$, где $c = 4200\,\frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot {}^\circ\text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma = 42\,\frac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot {}^\circ\text{C}}$ — коэффициент теплообмена, а $\alpha = 1{,}1$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 110 м.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Вода идёт по трубе радиатора и остывает. Формула показывает, какая длина трубы нужна, чтобы вода остыла до температуры $T$. У нас длина известна — $110$ м, ищем $T$.

Множитель перед логарифмом:

$$\alpha\dfrac{cm}{\gamma}=1{,}1\cdot\dfrac{4200\cdot 0{,}5}{42}=1{,}1\cdot\dfrac{2100}{42}=1{,}1\cdot 50=55.$$

Начальная разность «вода минус комната»: $81-25=56$. Подставляем:

$$110=55\cdot\log_2\dfrac{56}{T-25}.$$

Делим на $55$: $\log_2\dfrac{56}{T-25}=2$. По определению логарифма число под ним равно $2^{2}=4$:

$$\dfrac{56}{T-25}=4,\qquad T-25=\dfrac{56}{4}=14,\qquad T=25+14=39.$$

Проверим себя: $\dfrac{81-25}{39-25}=\dfrac{56}{14}=4$, $\log_2 4=2$, $55\cdot 2=110$ м. Верно.

Ответ

39
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)