Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043528

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043528

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 2$ моля воздуха объёмом $V_1 = 18$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2\frac{V_1}{V_2}$, где $\alpha = 9{,}15 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, а $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 980 Дж.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Воздух в колоколе сжимают, и вода совершает работу. Чем сильнее сжали воздух (во сколько раз уменьшился объём), тем больше работа. Нужно найти конечный объём $V_2$.

Посчитаем множитель перед логарифмом: $\alpha\nu T=9{,}15\cdot 2\cdot 300$. Сначала $2\cdot 300=600$, затем $9{,}15\cdot 600=5490$.

Подставим работу $10\,980$ Дж и $V_1=18$:

$$10\,980=5490\cdot\log_2\dfrac{18}{V_2}.$$

Делим на $5490$: $10\,980:5490=2$, значит, $\log_2\dfrac{18}{V_2}=2$.

По определению логарифма $\dfrac{18}{V_2}=2^{2}=4$, то есть объём уменьшился в $4$ раза:

$$V_2=\dfrac{18}{4}=4{,}5\ \text{л}.$$

Проверим себя: $\dfrac{18}{4{,}5}=4$, $\log_2 4=2$, $5490\cdot 2=10\,980$ Дж. Сходится. По смыслу тоже верно: при сжатии объём стал меньше начальных $18$ л.

Ответ

4,5
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)