Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042040

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00042040

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{\text{П}}=25\ ^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m=0{,}5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_{\text{В}}=85\ ^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x=\alpha\dfrac{cm}{\gamma}\log_2\dfrac{T_{\text{В}}-T_{\text{П}}}{T-T_{\text{П}}}$, где $c=4200\ \dfrac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma=21\ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — коэффициент теплообмена, а $\alpha=1{,}4$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $140$ м.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Длина участка трубы связана с температурой через логарифм. Подставим все постоянные и посчитаем множитель перед логарифмом:

$$\alpha\dfrac{cm}{\gamma}=1{,}4\cdot\dfrac{4200\cdot0{,}5}{21}=1{,}4\cdot\dfrac{2100}{21}=1{,}4\cdot100=140.$$

Под логарифмом стоит отношение разностей температур. В числителе — насколько горячая вода на входе теплее комнаты: $T_{\text{В}}-T_{\text{П}}=85-25=60$. В знаменателе — то же самое для воды на выходе: $T-25$.

Длина трубы $140$ м, поэтому

$$140=140\cdot\log_2\dfrac{60}{T-25}.$$

Разделим обе части на $140$:

$$\log_2\dfrac{60}{T-25}=1.$$

Логарифм по основанию $2$ равен $1$, когда число под ним равно $2^1=2$:

$$\dfrac{60}{T-25}=2\ \Rightarrow\ T-25=\dfrac{60}{2}=30\ \Rightarrow\ T=55.$$

Проверка: $\dfrac{85-25}{55-25}=\dfrac{60}{30}=2$, $\log_2 2=1$, $x=140\cdot1=140$ м. Верно. По смыслу тоже сходится: вода остыла с $85^\circ$, но осталась теплее комнаты ($25^\circ$).

Ответ

55
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)