Показательны… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043517

Масса изотопа со временем уменьшается: за каждый период полураспада она становится вдвое меньше. Нам нужно узнать, через сколько минут от $192$ мг останется $6$ мг.

Подставим в формулу то, что известно: $m_0=192$, $T=10$, $m=6$:

$$6=192\cdot 2^{-\frac{t}{10}}.$$

Разделим обе части на $192$: $\dfrac{6}{192}=\dfrac{1}{32}$. Получаем

$$2^{-\frac{t}{10}}=\dfrac{1}{32}.$$

Теперь запишем $\dfrac1{32}$ как степень двойки. Поскольку $32=2^{5}$, то $\dfrac1{32}=2^{-5}$:

$$2^{-\frac{t}{10}}=2^{-5}.$$

Основания одинаковые, значит, равны и показатели: $-\dfrac{t}{10}=-5$, откуда $t=5\cdot 10=50$ минут.

Проверим себя «по шагам полураспада»: каждые $10$ минут масса делится пополам: $192\to 96\to 48\to 24\to 12\to 6$. Делений было пять, то есть прошло $5\cdot 10=50$ минут.