Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043516

Прямая $y=5x-9$ касается графика $y=20x^{2}-15x+c$. Число $c$ поднимает или опускает параболу, но не меняет её наклон. Поэтому план такой: по наклону найдём точку касания, а по совпадению значений — $c$.

Наклон прямой равен $5$. Производная функции: $\left(20x^{2}-15x+c\right)'=40x-15$.

$$40x_0-15=5,\qquad 40x_0=20,\qquad x_0=\dfrac{20}{40}=0{,}5.$$

Значение прямой в этой точке: $5\cdot 0{,}5-9=2{,}5-9=-6{,}5$.

Значение функции: $0{,}5^{2}=0{,}25$, $20\cdot 0{,}25=5$, $15\cdot 0{,}5=7{,}5$, итого $5-7{,}5+c=-2{,}5+c$.

Приравниваем:

$$-2{,}5+c=-6{,}5,\qquad c=-6{,}5+2{,}5=-4.$$

Проверим себя: разность функции и прямой при этом $c$ равна $20x^{2}-15x-4-5x+9=20x^{2}-20x+5=5(2x-1)^{2}$. Она равна нулю только при $x=0{,}5$ — значит, прямая действительно касается параболы.