Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043491

Прямая $y=7-9x$ касается параболы $y=ax^{2}+21x-2$, а коэффициент $a$ неизвестен. В точке касания $x_0$ должны совпасть и наклоны, и значения. Это даст два уравнения на два неизвестных: $a$ и $x_0$.

Наклон прямой — коэффициент при $x$, здесь $-9$. Производная параболы: $\left(ax^{2}+21x-2\right)'=2ax+21$. Первое уравнение:

$$2ax_0+21=-9,\qquad 2ax_0=-30,\qquad ax_0=-15.$$

Второе уравнение — значения равны:

$$ax_0^{2}+21x_0-2=7-9x_0.$$

Перенесём всё влево: $ax_0^{2}+30x_0-9=0$.

Хитрость: $ax_0^{2}=(ax_0)\cdot x_0$, а $ax_0$ мы уже знаем — это $-15$. Значит, $ax_0^{2}=-15x_0$:

$$-15x_0+30x_0-9=0,\qquad 15x_0=9,\qquad x_0=\dfrac{9}{15}=0{,}6.$$

Теперь найдём $a$ из $ax_0=-15$: $a=-15:0{,}6=-25$.

Проверим себя. Наклон: $2\cdot(-25)\cdot 0{,}6+21=-30+21=-9$ — как у прямой. Значения: парабола $-25\cdot 0{,}36+21\cdot 0{,}6-2=-9+12{,}6-2=1{,}6$; прямая $7-9\cdot 0{,}6=7-5{,}4=1{,}6$. Всё совпало.