Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043505

Касательная параллельна прямой $y=-2x-14$ (или совпадает с ней), если у неё такой же наклон. Наклон прямой — число перед $x$, здесь $-2$. А наклон касательной в точке — это значение производной.

Значит, нужно сосчитать точки, где

$$f'(x)=-2.$$

На рисунке график производной, поэтому достаточно провести мысленно горизонтальную прямую $y=-2$ (на две клетки ниже оси $Ox$) и сосчитать её пересечения с графиком.

Левая часть рисунка. График опускается с оси во впадину около $x=-5$, а она чуть ниже уровня $-2$ — первое пересечение на спуске, второе на подъёме к горбику при $x=-4$ (он на уровне $-1$, выше нашей прямой). Затем вторая впадина около $x=-3$ тоже ниже $-2$ — третье пересечение на спуске и четвёртое на подъёме.

Правая часть. После большого горба график спускается в глубокую впадину около $x=3{,}5$ — пятое пересечение. Поднимается к горбу при $x=5$ (около $-1{,}4$, выше прямой) — шестое. И вновь опускается к правому концу, который стоит чуть ниже уровня $-2$, — седьмое.

Итого $7$ точек.

Проверим себя на ловушке: точки, где график пересекает ось $Ox$, сюда не относятся. Там производная равна нулю, касательная горизонтальна, а не параллельна прямой с наклоном $-2$.