Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043494

Прямая $y=9x-5$ касается графика $y=x^{2}+7x+c$, и нужно найти $c$. В точке касания совпадают и наклоны, и значения. Наклон поможет найти саму точку касания, а значения — число $c$.

Наклон прямой равен $9$ (число перед $x$). Производная функции: $y'=2x+7$. Приравниваем:

$$2x_0+7=9,\qquad 2x_0=2,\qquad x_0=1.$$

Теперь в этой точке значения функции и прямой должны совпасть. Прямая при $x=1$: $9\cdot 1-5=4$. Функция при $x=1$: $1+7+c=8+c$.

$$8+c=4,\qquad c=4-8=-4.$$

Проверим себя другим способом. Вычтем из функции прямую: $x^{2}+7x-4-(9x-5)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$. Это выражение равно нулю только при $x=1$ и положительно в остальных точках — значит, парабола лишь касается прямой в одной точке. Всё верно.