Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043515

Прямая $y=5x-8$ касается параболы $y=6x^{2}+bx+16$, неизвестны коэффициент $b$ и точка касания $x_0$. Касание даёт два условия: равны наклоны и равны значения.

Наклон прямой — $5$. Производная параболы: $12x+b$. Первое условие:

$$12x_0+b=5,\qquad b=5-12x_0.$$

Второе условие — значения в точке касания совпадают:

$$6x_0^{2}+bx_0+16=5x_0-8.$$

Подставим $b=5-12x_0$: $bx_0=5x_0-12x_0^{2}$. Тогда

$$6x_0^{2}+5x_0-12x_0^{2}+16=5x_0-8.$$

Слагаемые $5x_0$ стоят в обеих частях — убираем их. Остаётся $-6x_0^{2}+16=-8$, то есть $-6x_0^{2}=-24$ и $x_0^{2}=4$.

Корня два: $x_0=2$ и $x_0=-2$. По условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому $x_0=2$.

Тогда $b=5-12\cdot 2=5-24=-19$.

Проверим себя: при $b=-19$ разность параболы и прямой равна $6x^{2}-19x+16-5x+8=6x^{2}-24x+24=6(x-2)^{2}$ — ноль ровно при $x=2$, это касание.