Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043495

На рисунке сама функция $f(x)$, а спрашивают про знак её производной. Связь простая: производная отрицательна там, где функция убывает, то есть график идёт вниз слева направо.

Найдём по рисунку вершины и впадины — места, где рост сменяется спадом и наоборот:

максимум при $x=-7$, минимум примерно при $x=-4{,}5$ (дно ямы между узлами $-5$ и $-4$), максимум при $x=1$, минимум при $x=4$, максимум при $x=5$.

Значит, функция убывает на промежутках $(-7;\,-4{,}5)$, $(1;\,4)$ и $(5;\,6)$.

Теперь выпишем целые точки внутри этих промежутков.

На $(-7;\,-4{,}5)$: $-6$ и $-5$ — две точки.

На $(1;\,4)$: $2$ и $3$ — две точки.

На $(5;\,6)$: целых точек нет, $6$ — край области, а $5$ — вершина.

Концы $-7$, $1$, $4$, $5$ не берём: в вершинах и впадинах производная равна нулю, а не отрицательна.

Итого целых точек: $2+2=4$.

Проверим себя на одной точке: в $x=-4$ график уже поднимается со дна ямы, поэтому там производная положительна и в счёт не идёт.