Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043492

На рисунке график производной. Напомним, как его читать: где $f'(x)\gt 0$ (график над осью), функция $f$ растёт; где $f'(x)\lt 0$ (под осью) — убывает.

Точка минимума — это дно ямы: функция сначала убывает, потом начинает расти. Для производной это значит, что её график пересекает ось $Ox$ снизу вверх, из минуса в плюс.

Найдём по клеткам точки пересечения графика с осью: $x=-2$, $x=2$, $x=5$, $x=10$.

В $x=-2$ график идёт снизу вверх — минимум.

В $x=2$ — сверху вниз, это максимум.

В $x=5$ — снизу вверх, минимум.

В $x=10$ — сверху вниз, максимум.

Точки минимума: $-2$ и $5$. Обе лежат на отрезке $[-4;9]$: $-4\le -2\le 9$ и $-4\le 5\le 9$.

Значит, точек минимума на отрезке $2$.

Проверим себя: нижние точки самой кривой (например, в $x=-3$ или $x=3$) — это не минимумы функции. Там производная отрицательна, и функция в этих местах просто убывает.