Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043490

Прямая касается графика в какой-то точке. В точке касания выполняются два условия сразу: наклоны совпадают (производная функции равна угловому коэффициенту прямой) и сами значения совпадают (точка лежит и на графике, и на прямой).

Угловой коэффициент прямой $y=-6x+15$ — это число перед $x$, то есть $-6$.

Производная функции: $\left(x^{3}+5x^{2}-3x+6\right)'=3x^{2}+10x-3$. Приравняем её к $-6$:

$$3x^{2}+10x-3=-6,\qquad 3x^{2}+10x+3=0.$$

Дискриминант: $D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$, $\sqrt{D}=8$.

$$x_1=\dfrac{-10-8}{6}=-3,\qquad x_2=\dfrac{-10+8}{6}=-\dfrac13.$$

Две точки с нужным наклоном. Но касание — только там, где ещё и значения совпадают. Проверим каждую.

При $x=-3$: функция $(-27)+5\cdot 9+9+6=-27+45+9+6=33$; прямая $-6\cdot(-3)+15=18+15=33$. Значения равны — это точка касания.

При $x=-\dfrac13$: прямая даёт $2+15=17$, а функция $-\dfrac1{27}+\dfrac59+1+6\approx 7{,}5$. Не равны — здесь касательная параллельна прямой, но с ней не совпадает.

Значит, абсцисса точки касания равна $-3$.