Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043489

Значение производной в точке — это наклон графика там: чем круче график поднимается, тем больше производная. Если график спускается — производная отрицательна, если стоит на вершине — равна нулю.

Нужна точка с наибольшей производной, то есть с самым крутым подъёмом. Пройдём по отмеченным точкам.

$x=-1$ — точка сразу за вершиной горба, график уже идёт вниз. Производная отрицательна.

$x=1$ — точка практически на вершине самого высокого горба. Касательная почти горизонтальна, производная около нуля (чуть отрицательна).

$x=3$ — график поднимается, но уже подходит к вершине небольшого горба и почти выровнялся. Производная положительна, но маленькая.

$x=2$ — точка на правой стенке глубокой впадины, где график резко взмывает вверх. Производная положительна и заметно больше, чем в $x=3$.

Значит, наибольшее значение производной — в точке $x=2$.

Проверим себя «линейкой»: приложим касательную в точках $x=2$ и $x=3$. В $x=2$ она стоит круто, почти как стенка, а в $x=3$ лежит полого. Наклон больше там, где касательная круче, — в точке $x=2$.

Важная ловушка: высота точки на графике тут ни при чём. Точка $x=2$ лежит ниже всех, но наклон в ней самый большой.