Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043488

Производная в точке показывает, как наклонён график в этом месте: если график идёт вверх — производная положительна, если вниз — отрицательна, если в точке вершина или впадина — производная равна нулю.

Нам нужна точка, где производная наименьшая. Ясно, что отрицательное число меньше и нуля, и любого положительного. Поэтому сначала ищем точку, где график идёт вниз.

Посмотрим на каждую отмеченную точку:

$x=-1$ — здесь вершина горба, касательная горизонтальна, производная равна $0$;

$x=3$ — тоже вершина горба, производная равна $0$;

$x=4$ — график поднимается, производная положительна;

$x=1$ — график круто спускается вниз, производная отрицательна.

Отрицательная производная только одна — в точке $x=1$. Значит, именно там значение производной наименьшее.

Проверим себя: можно мысленно приложить линейку-касательную к графику в каждой точке. Только в $x=1$ она будет наклонена «вниз вправо», у остальных — горизонтально или вверх.