Геометрически… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043485

Значение производной в точке — это наклон касательной в этой точке, то есть её угловой коэффициент. Значит, нужно найти наклон прямой, которая касается графика при $x_0=4$.

Про эту прямую мы знаем две точки. Первая — начало координат $(0;0)$: так сказано в условии. Обрати внимание: сама кривая проходит через ось $y$ не в начале координат, а выше — около точки $(0;1)$. Эта точка лежит на графике, но не на касательной, поэтому для наклона её не берём. Вторая — сама точка касания. По рисунку она отмечена жирной точкой: пунктир от неё вниз приходит в $x=4$, а пунктир влево — на уровень $y=5$. Значит, точка касания $(4;5)$.

Угловой коэффициент прямой — это «на сколько поднимаемся, делённое на сколько сдвигаемся вправо». От $(0;0)$ до $(4;5)$ мы сдвигаемся вправо на $4$ и поднимаемся на $5$:

$$k=\dfrac{5-0}{4-0}=\dfrac54=1{,}25.$$

Это и есть значение производной: $f'(4)=1{,}25$.

Проверим себя по знаку: прямая из начала координат идёт вверх вправо, значит, наклон положительный, и функция в точке $x=4$ действительно растёт — по рисунку так и есть.