Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043466

Сравним корни: $\sqrt{200}=\sqrt{4\cdot50}=2\sqrt{50}$. Вынесем $\sqrt{50}$ за скобки:

$$\sqrt{50}-\sqrt{200}\sin^{2}\dfrac{13\pi}{8}=\sqrt{50}\left(1-2\sin^{2}\dfrac{13\pi}{8}\right).$$

В скобках — формула косинуса двойного угла: $\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$. Удвоенный угол равен $2\cdot\dfrac{13\pi}{8}=\dfrac{13\pi}{4}$, и выражение равно $\sqrt{50}\cos\dfrac{13\pi}{4}$.

Отбросим полный оборот: $\dfrac{13\pi}{4}-2\pi=\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$. Это $\pi+\dfrac{\pi}{4}$ — третья четверть, косинус отрицателен: $\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

$$\sqrt{50}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{100}}{2}=-\dfrac{10}{2}=-5.$$

Проверим знак: $\dfrac{13\pi}{8}=292{,}5^{\circ}$ — этот угол ближе к оси $Oy$ ($270^{\circ}$), чем к оси $Ox$ ($360^{\circ}$). Значит, $\sin^{2}\alpha\gt\dfrac12$, скобка $1-2\sin^{2}\alpha$ отрицательна, и ответ отрицательный.