Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043454

Тангенс — это отношение синуса к косинусу. Косинус дан, значит, нужно найти синус.

Основное тригонометрическое тождество: $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$. Отсюда

$$\sin^{2}\alpha=1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{29}}\right)^{2}=1-\dfrac{4}{29}=\dfrac{25}{29}.$$

По модулю $\sin\alpha=\dfrac{5}{\sqrt{29}}$. Знак определяем по четверти: $\alpha$ между $\dfrac{3\pi}{2}$ и $2\pi$ — это четвёртая четверть, там точка единичной окружности ниже оси $Ox$, и синус отрицателен: $\sin\alpha=-\dfrac{5}{\sqrt{29}}$.

$$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{5}{\sqrt{29}}:\dfrac{2}{\sqrt{29}}=-\dfrac{5}{\sqrt{29}}\cdot\dfrac{\sqrt{29}}{2}=-\dfrac52=-2{,}5.$$

Проверим другой формулой: $1+\operatorname{tg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$. Слева $1+6{,}25=7{,}25$, справа $\dfrac{29}{4}=7{,}25$. Совпало.