Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043465

Перед нами произведение синуса и косинуса одного и того же угла. Его сворачивает формула синуса двойного угла: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, значит, $\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac12\sin2\alpha$.

$$5\sin\dfrac{7\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac52\sin\left(2\cdot\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac52\sin\dfrac{7\pi}{6}.$$

Угол $\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$ — это третья четверть, там синус отрицателен: $\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12$.

$$\dfrac52\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac54=-1{,}25.$$

Проверим знак другим путём: $\dfrac{7\pi}{12}=105^{\circ}$ — вторая четверть, синус там положителен, а косинус отрицателен. Их произведение отрицательно, как и получилось.