Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043450

В скобках узнаём формулу косинуса двойного угла: $\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\cos2\alpha$. Здесь $\alpha=\dfrac{19\pi}{12}$, удвоенный угол $2\alpha=\dfrac{38\pi}{12}=\dfrac{19\pi}{6}$.

$$\sqrt{27}\left(\cos^{2}\dfrac{19\pi}{12}-\sin^{2}\dfrac{19\pi}{12}\right)=\sqrt{27}\cos\dfrac{19\pi}{6}.$$

Угол $\dfrac{19\pi}{6}$ больше полного оборота $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$. Отнимем оборот — косинус от этого не меняется: $\dfrac{19\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$.

$\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$ — это третья четверть, там косинус отрицателен: $\cos\dfrac{7\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Упростим корень: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$. Тогда

$$3\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\dfrac{3\cdot3}{2}=-\dfrac92=-4{,}5.$$

Проверим знак: $\dfrac{19\pi}{12}=285^{\circ}$. Косинус этого угла равен $\cos75^{\circ}$ — небольшое число, а синус по модулю равен $\sin75^{\circ}$ — близок к единице. Значит, $\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\lt 0$, и минус в ответе ожидаем.