Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043455

$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Синус дан — найдём косинус из основного тождества $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$.

$\sin^{2}\alpha=\left(\dfrac{2\sqrt5}{5}\right)^{2}=\dfrac{4\cdot5}{25}=\dfrac{20}{25}$, поэтому $\cos^{2}\alpha=1-\dfrac{20}{25}=\dfrac{5}{25}=\dfrac15$.

Угол $\alpha$ между $\dfrac{\pi}{2}$ и $\pi$ — вторая четверть, там точка окружности левее оси $Oy$, и косинус отрицателен: $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt5}=-\dfrac{\sqrt5}{5}$.

$$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5}:\left(-\dfrac{\sqrt5}{5}\right)=\dfrac{2\sqrt5}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{\sqrt5}\right)=-2.$$

Проверим другой формулой: $1+\operatorname{ctg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}$. Котангенс — обратное к тангенсу число, $-\dfrac12$. Слева $1+\dfrac14=\dfrac54$, справа $1:\dfrac{20}{25}=\dfrac{25}{20}=\dfrac54$. Совпало.