Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043451

Заметим, что $\sqrt{300}=\sqrt{4\cdot75}=2\sqrt{75}$. Вынесем $\sqrt{75}$ за скобки (обозначим $\alpha=\dfrac{19\pi}{12}$):

$$\sqrt{300}\cos^{2}\alpha-\sqrt{75}=\sqrt{75}\left(2\cos^{2}\alpha-1\right).$$

В скобках — формула косинуса двойного угла: $2\cos^{2}\alpha-1=\cos2\alpha$. Удвоенный угол $2\cdot\dfrac{19\pi}{12}=\dfrac{19\pi}{6}$, и выражение равно $\sqrt{75}\cos\dfrac{19\pi}{6}$.

Разложим угол: $\dfrac{19\pi}{6}=3\pi+\dfrac{\pi}{6}=2\pi+\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)$. Полный оборот $2\pi$ косинус не меняет, а сдвиг ещё на $\pi$ меняет его знак:

$$\cos\dfrac{19\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.$$

$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3$, поэтому $5\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\dfrac{5\cdot3}{2}=-\dfrac{15}{2}=-7{,}5$.

Прикинем: $\cos^{2}\alpha$ лежит между $0$ и $1$, значит, выражение лежит между $-\sqrt{75}\approx-8{,}7$ и $\sqrt{300}-\sqrt{75}=\sqrt{75}\approx8{,}7$. Наш ответ в этих пределах.