Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043461

В каждой скобке — единица минус логарифм числа $15$. Разложим $15=5\cdot3$ и вспомним правило: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Первая скобка: $\log_5 15=\log_5 5+\log_5 3=1+\log_5 3$, поэтому $1-\log_5 15=1-1-\log_5 3=-\log_5 3$.

Вторая скобка: $\log_3 15=\log_3 3+\log_3 5=1+\log_3 5$, поэтому $1-\log_3 15=-\log_3 5$.

Перемножаем, минус на минус даёт плюс:

$$(-\log_5 3)\cdot(-\log_3 5)=\log_5 3\cdot\log_3 5.$$

Если у логарифма поменять местами основание и аргумент, получится обратное число: $\log_3 5=\dfrac{1}{\log_5 3}$. Поэтому произведение равно $\log_5 3\cdot\dfrac{1}{\log_5 3}=1$.

Проверим прикидкой: $\log_5 3\approx0{,}683$, $\log_3 5\approx1{,}465$, и $0{,}683\cdot1{,}465\approx1{,}000$.