Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043443

Логарифмическое уравнение по основанию $4$ с числом $2$ справа. ОДЗ: $7+6x\gt 0$ и $1+x\gt 0$.

Перенесём $\log_4(1+x)$ влево. Разность логарифмов по одному основанию — логарифм частного:

$$\log_4\dfrac{7+6x}{1+x}=2.$$

По определению логарифма это значит, что дробь равна $4$ во второй степени: $\dfrac{7+6x}{1+x}=4^{2}=16$.

Умножим обе части на $1+x$ (по ОДЗ оно положительно): $7+6x=16(1+x)=16+16x$.

Иксы влево, числа вправо: $6x-16x=16-7$, то есть $-10x=9$, и $x=-0{,}9$.

ОДЗ: $1+x=1-0{,}9=0{,}1\gt 0$ и $7+6\cdot(-0{,}9)=7-5{,}4=1{,}6\gt 0$. Подходит.

Проверим: $\dfrac{1{,}6}{0{,}1}=16$, и $\log_4 16=2$, потому что $4^{2}=16$. Верно.