Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043437

Логарифмы по основаниям $2$ и $4$. ОДЗ: $x+5\gt 0$ и $1-x\gt 0$, то есть $-5\lt x\lt 1$.

Приведём логарифмы к одному основанию. Так как $4=2^{2}$, логарифм по основанию $4$ вдвое меньше логарифма по основанию $2$: $\log_4 y=\dfrac12\log_2 y$.

$$\log_2(x+5)=\dfrac12\log_2(1-x).$$

Умножим обе части на $2$ и занесём двойку в показатель: $\log_2(x+5)^{2}=\log_2(1-x)$. Аргументы равны:

$$(x+5)^{2}=1-x.$$

Раскрываем квадрат суммы: $x^{2}+10x+25=1-x$, переносим: $x^{2}+11x+24=0$.

$D=11^{2}-4\cdot24=121-96=25$. Корни: $x=\dfrac{-11+5}{2}=-3$ и $x=\dfrac{-11-5}{2}=-8$.

Важно: уравнение с квадратом $(x+5)^{2}$ «не видит» знак выражения $x+5$, поэтому мог появиться лишний корень. Сверяем с ОДЗ: $x=-8$ не подходит ($x+5=-3\lt 0$), а $x=-3$ подходит ($x+5=2\gt0$, $1-x=4\gt0$).

Корень один: $-3$.

Проверим: $\log_2(-3+5)=\log_2 2=1$ и $\log_4(1+3)=\log_4 4=1$. Совпало.