Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043436

Логарифмы здесь по разным основаниям: $5$ и $0{,}2$. Сначала ОДЗ: $2x+3\gt 0$ и $x+1\gt 0$, то есть $x\gt -1{,}5$ и $x\gt -1$. Вместе: $x\gt -1$.

Основание $0{,}2=\dfrac15=5^{-1}$. Если основание логарифма «перевернуть», логарифм меняет знак: $\log_{0{,}2}y=-\log_5 y$. Проверим на числе: $\log_{0{,}2}5=-1$, ведь $0{,}2^{-1}=5$; и $-\log_5 5=-1$. Сходится.

$$\log_5(2x+3)=-\log_5(x+1).$$

Перенесём всё влево: $\log_5(2x+3)+\log_5(x+1)=0$. Сумма логарифмов — логарифм произведения, а логарифм равен нулю только у единицы ($5^{0}=1$):

$$(2x+3)(x+1)=1.$$

Раскрываем скобки: $2x^{2}+2x+3x+3=1$, то есть $2x^{2}+5x+2=0$.

$D=5^{2}-4\cdot2\cdot2=25-16=9$. Корни: $x=\dfrac{-5+3}{4}=-\dfrac12=-0{,}5$ и $x=\dfrac{-5-3}{4}=-2$.

По ОДЗ $x\gt -1$: корень $-2$ не годится (при нём $x+1=-1\lt 0$). Остаётся $-0{,}5$.

Проверим: при $x=-0{,}5$ слева $\log_5(-1+3)=\log_5 2$, справа $\log_{0{,}2}0{,}5=-\log_5 0{,}5=\log_5 2$. Совпало.