Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043433

Неизвестное спрятано в логарифме, который стоит в показателе степени. Прологарифмируем обе части по основанию $2$ — тогда показатель «спустится» вниз, потому что $\log_2 2^{t}=t$:

$$\log_{16}(5x+4)=\log_2 5.$$

Слева и справа логарифмы по разным основаниям. Приведём правую часть к основанию $16$. Так как $16=2^{4}$, логарифм по основанию $16$ вчетверо меньше логарифма по основанию $2$: $\log_{16}5=\dfrac14\log_2 5$. Значит,

$$\log_2 5=4\log_{16}5=\log_{16}5^{4}=\log_{16}625,$$

где $5^{4}=5\cdot5\cdot5\cdot5=25\cdot25=625$.

Теперь $\log_{16}(5x+4)=\log_{16}625$, и аргументы равны: $5x+4=625$.

$5x=625-4=621$, $x=\dfrac{621}{5}=124{,}2$.

ОДЗ: $5x+4=625\gt 0$ — подходит.

Проверим: $2^{\log_{16}625}=2^{\frac14\log_2 625}=625^{\frac14}=5$, ведь $5^{4}=625$. Верно.