Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043442

Логарифмическое уравнение с одинаковым основанием $3$ и лишней единицей справа. ОДЗ: $5-2x\gt 0$ и $1-4x\gt 0$.

Единицу запишем как логарифм: $1=\log_3 3$. Справа получится сумма логарифмов — это логарифм произведения:

$$\log_3(1-4x)+\log_3 3=\log_3\bigl(3(1-4x)\bigr).$$

Теперь $\log_3(5-2x)=\log_3\bigl(3(1-4x)\bigr)$, и аргументы равны. Раскрываем скобку, умножая $3$ на оба слагаемых:

$$5-2x=3-12x.$$

Иксы влево, числа вправо: $-2x+12x=3-5$, то есть $10x=-2$, и $x=-0{,}2$.

ОДЗ: $5-2\cdot(-0{,}2)=5+0{,}4=5{,}4\gt 0$ и $1-4\cdot(-0{,}2)=1+0{,}8=1{,}8\gt 0$. Подходит.

Проверим: справа $\log_3 1{,}8+1=\log_3(1{,}8\cdot3)=\log_3 5{,}4$ — ровно левая часть.