Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043432

Здесь логарифм стоит в показателе степени. Если бы основание логарифма совпадало с основанием степени, сработало бы основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b}=b$. Но у степени основание $3$, а у логарифма — $27$.

Заметим, что $27=3^{3}$. Логарифм по основанию $3^{3}$ в три раза меньше логарифма по основанию $3$:

$$\log_{27}y=\dfrac13\log_3 y.$$

Проверим это правило на числе: $\log_{27}27=1$, и $\dfrac13\log_3 27=\dfrac13\cdot3=1$. Сходится.

Тогда показатель равен $\dfrac13\log_3(8x+4)=\log_3(8x+4)^{\frac13}$, и по основному тождеству

$$3^{\log_{27}(8x+4)}=3^{\log_3(8x+4)^{1/3}}=(8x+4)^{\frac13}=\sqrt[3]{8x+4}.$$

Уравнение превратилось в $\sqrt[3]{8x+4}=4$. Возводим обе части в куб: $8x+4=4^{3}=64$.

$8x=64-4=60$, $x=\dfrac{60}{8}=7{,}5$.

ОДЗ: $8x+4=64\gt 0$ — подходит.

Проверим: $3^{\log_{27}64}=3^{\frac13\log_3 64}=64^{\frac13}=4$, потому что $4\cdot4\cdot4=64$. Верно.