Иррациональны… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043441

Уравнение с корнем: $\sqrt{3x+22}=2-x$. Условия: $3x+22\geqslant 0$ и правая часть неотрицательна, $2-x\geqslant 0$, то есть $x\leqslant 2$.

Возводим обе части в квадрат: $3x+22=(2-x)^{2}=4-4x+x^{2}$.

Переносим всё вправо: $x^{2}-7x-18=0$. $D=(-7)^{2}+4\cdot18=49+72=121$. Корни: $x=\dfrac{7+11}{2}=9$ и $x=\dfrac{7-11}{2}=-2$.

Откуда взялся лишний корень? Возведение в квадрат «склеивает» два уравнения: $\sqrt{3x+22}=2-x$ и $\sqrt{3x+22}=-(2-x)$ — ведь у чисел $2-x$ и $-(2-x)$ квадраты одинаковые. Корень $x=9$ решает как раз второе: $\sqrt{27+22}=\sqrt{49}=7$, а $-(2-9)=7$.

По условию $x\leqslant 2$ корень $9$ отпадает. Остаётся единственный корень $-2$.

Проверим: $\sqrt{3\cdot(-2)+22}=\sqrt{16}=4$ и $2-(-2)=4$. Совпало.