Иррациональны… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043415

Уравнение с корнем: слева $\sqrt{5x}$, справа $2\frac12x$. План такой: понять, при каких $x$ обе части неотрицательны, и возвести уравнение в квадрат.

Квадратный корень не бывает отрицательным, поэтому правая часть $2\frac12x$ тоже должна быть неотрицательной: $x\geqslant 0$. Тогда и под корнем $5x\geqslant 0$. При таких $x$ возведение в квадрат безопасно — лишних корней не появится.

Запишем смешанное число дробью: $2\frac12=\dfrac{2\cdot 2+1}{2}=\dfrac52$. Возводим обе части в квадрат, причём дробь тоже в квадрат: $\left(\dfrac52\right)^{2}=\dfrac{25}{4}$.

$$5x=\dfrac{25}{4}x^{2}.$$

Избавимся от дроби — умножим обе части на $4$: $20x=25x^{2}$.

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель $5x$:

$$25x^{2}-20x=0\quad\Rightarrow\quad 5x(5x-4)=0.$$

Произведение равно нулю, если один из множителей ноль: $x=0$ или $5x=4$, то есть $x=\dfrac45=0{,}8$.

Оба корня неотрицательны и подходят. Больший — $0{,}8$.

Проверим себя: при $x=0{,}8$ слева $\sqrt{5\cdot0{,}8}=\sqrt4=2$, справа $2{,}5\cdot0{,}8=2$. Совпало.