Иррациональны… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043421

Уравнение с корнем: слева $\sqrt{-x}$, справа $x+6$. Избавляться от корня будем возведением в квадрат, но сначала запишем два условия.

Первое: под корнем стоит неотрицательное число, $-x\geqslant 0$, то есть $x\leqslant 0$. Второе: корень не бывает отрицательным, значит, и правая часть $x+6\geqslant 0$, то есть $x\geqslant -6$.

Возводим обе части в квадрат. Справа — квадрат суммы, в нём есть удвоенное произведение: $(x+6)^{2}=x^{2}+2\cdot6\cdot x+36=x^{2}+12x+36$.

$$-x=x^{2}+12x+36.$$

Переносим всё вправо: $x^{2}+13x+36=0$. Дискриминант $D=13^{2}-4\cdot36=169-144=25$. Корни: $x=\dfrac{-13+5}{2}=-4$ и $x=\dfrac{-13-5}{2}=-9$.

Проверяем условия. При $x=-9$ правая часть $-9+6=-3\lt 0$, а слева $\sqrt{9}=3$ — не равны, это посторонний корень. При $x=-4$ оба условия выполнены: $x\leqslant 0$ и $x+6=2\geqslant 0$.

Корень единственный: $-4$.

Проверим: $\sqrt{-(-4)}=\sqrt4=2$ и $-4+6=2$. Совпало.