Иррациональны… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043440

Уравнение с корнем: $\sqrt{3-2x}=2x+3$. Условия: под корнем $3-2x\geqslant 0$, то есть $x\leqslant 1{,}5$; правая часть не может быть отрицательной, $2x+3\geqslant 0$, то есть $x\geqslant -1{,}5$. Итак, корни ищем на отрезке $[-1{,}5;\,1{,}5]$.

Возводим обе части в квадрат. Справа квадрат суммы, и в квадрат возводится всё слагаемое $2x$ вместе с двойкой: $(2x+3)^{2}=4x^{2}+2\cdot2x\cdot3+9=4x^{2}+12x+9$.

$$3-2x=4x^{2}+12x+9.$$

Переносим всё вправо: $4x^{2}+14x+6=0$. Разделим на $2$: $2x^{2}+7x+3=0$.

$D=7^{2}-4\cdot2\cdot3=49-24=25$. Корни: $x=\dfrac{-7+5}{4}=-0{,}5$ и $x=\dfrac{-7-5}{4}=-3$.

Корень $-3$ лежит вне отрезка $[-1{,}5;\,1{,}5]$: при нём $2x+3=-3\lt 0$. Это посторонний корень. Корень $-0{,}5$ подходит.

Проверим: $\sqrt{3-2\cdot(-0{,}5)}=\sqrt{4}=2$ и $2\cdot(-0{,}5)+3=-1+3=2$. Совпало.