Показательные… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043435

Здесь основания $2{,}5$ и $0{,}16$. Переведём их в обыкновенные дроби: $2{,}5=\dfrac52$, $0{,}16=\dfrac{16}{100}=\dfrac{4}{25}$.

Заметим: $\dfrac{4}{25}=\left(\dfrac25\right)^{2}$, а $\dfrac25$ — это перевёрнутая $\dfrac52$. Перевернуть дробь — значит возвести её в степень $-1$: $\dfrac25=\left(\dfrac52\right)^{-1}$. Поэтому $0{,}16=\left(\dfrac52\right)^{-2}$.

$$0{,}16^{2x}=\left(\dfrac52\right)^{-2\cdot 2x}=\left(\dfrac52\right)^{-4x}.$$

Теперь обе части — степени одного числа $\dfrac52$:

$$\left(\dfrac52\right)^{2-3x}=\left(\dfrac52\right)^{-4x}.$$

Приравниваем показатели: $2-3x=-4x$. Переносим: $-3x+4x=-2$, то есть $x=-2$.

Проверим: при $x=-2$ слева $2{,}5^{2+6}=2{,}5^{8}$, справа $0{,}16^{-4}=\left(\dfrac{25}{4}\right)^{4}=\left(\dfrac52\right)^{8}=2{,}5^{8}$. Совпало.