Показательные… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043417

Это показательное уравнение: неизвестное сидит в показателях степеней. Главная идея — записать обе части как степени одного и того же числа. Здесь это $2$, ведь $16=2\cdot2\cdot2\cdot2=2^{4}$.

Вспомним правило: при возведении степени в степень показатели перемножаются, $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$. Поэтому

$$16^{2x}=\left(2^{4}\right)^{2x}=2^{4\cdot 2x}=2^{8x}.$$

Уравнение стало таким:

$$2^{8x}=2^{6x-12}.$$

Две степени двойки равны только тогда, когда равны их показатели: функция $2^{t}$ каждое своё значение принимает ровно один раз. Приравниваем показатели:

$$8x=6x-12.$$

Переносим $6x$ влево: $8x-6x=-12$, то есть $2x=-12$, и $x=-12:2=-6$.

Проверим: при $x=-6$ слева показатель $8\cdot(-6)=-48$, справа $6\cdot(-6)-12=-36-12=-48$. Показатели совпали, значит, и степени равны.