Показательные… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041980

Заметим, что $7=0{,}7\cdot10$. По свойству степени произведения $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ левую часть можно переписать:

$$7^{5-2x}=(0{,}7\cdot10)^{5-2x}=0{,}7^{5-2x}\cdot10^{5-2x}.$$

Уравнение принимает вид

$$0{,}7^{5-2x}\cdot10^{5-2x}=0{,}49\cdot10^{5-2x}.$$

Множитель $10^{5-2x}$ положителен при любом $x$, поэтому на него можно разделить обе части:

$$0{,}7^{5-2x}=0{,}49.$$

Так как $0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49$, то $0{,}49=0{,}7^{2}$:

$$0{,}7^{5-2x}=0{,}7^{2}\;\Rightarrow\;5-2x=2.$$

Отсюда $-2x=2-5=-3$, $x=\dfrac{-3}{-2}=1{,}5$.

Проверка: при $x=1{,}5$ показатель $5-2x=2$. Слева $7^{2}=49$, справа $0{,}49\cdot10^{2}=49$ — верно.